Dans notre travail, nous développons une méthode pour résoudre des problèmes inverses autour des modèles de type réaction-diffusion sans recourir à de l'interpolation de données. Cette méthode permet de calibrer à la fois un vecteur d'état (\(\Psi\)) et un ensemble de paramètres (\(\eta\)) d'un modèle quand on obtient des données issues d'un processus de mesure.

Un apport majeur de notre travail est d'autoriser des erreurs potentielles dans les choix de modélisation du modèle. En effet, la plupart des problèmes liés au contrôle optimal font l'hypothèse que la formulation du modèle est correcte. Pourtant, il n'est pas rare qu'un modèle soit, en réalité, la simplification d'un système bien plus complexe, ou alors que certains coefficients, supposés corrects, soient légèrement incorrects. Pour toutes ces raisons, nous autorisons dans ce travail, d'avoir des erreurs dans les choix de modélisation et non pas seulement au niveau de la condition initiale et des paramètres.

Nous illustrons notre méthode sur deux modèles : un système de type Keller-Segel qui fait le lien avec la première contribution \begin{equation*} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}- \nabla\cdot(D_1 \nabla u) + \nabla.(D_1\chi u \nabla c) = g_1(u,c,\theta) & ,\forall(t,x)\in I\times\Omega,\\ \frac{\partial c}{\partial t} - \nabla\cdot(D_2 \nabla c) = g_2(u,c,\theta)& ,\forall(t,x)\in I\times\Omega, \\ u(t=0,x) = u_{0}(x), \qquad c(t=0,x) = c_{0}(x) &, \forall x\in\Omega, \\ D_1 \nabla u\cdot\vec n - D_1 \chi u\nabla c\cdot\vec n= 0,\qquad D_2 \nabla c\cdot\vec n = 0 &,\forall(t,x)\in I\times\partial\Omega, \end{cases} \end{equation*}

et un système de Turing qui produit des patterns en espace \begin{equation*} \begin{cases} \frac{\partial A}{\partial t}- \nabla^{2} A = \mu f_1(A,B) & ,\forall(t,x)\in I\times\Omega\\ \frac{\partial B}{\partial t} - d \nabla^{2} B = \mu f_2(A,B)& ,\forall(t,x)\in I\times\Omega \\ A(t=0,x) = A_{0}(x), \qquad B(t=0,x) = B_{0}(x) &, \forall x\in\Omega \\ \nabla A\cdot\vec n = 0, \qquad \nabla B\cdot\vec n = 0 &,\forall(t,x)\in I\times\partial\Omega. \\ \end{cases} \end{equation*}

Dans notre approche, les problèmes inverses sont écrits comme des problèmes d'optimisation dont l'objectif est de minimiser trois sources d'erreurs : sur les choix de modélisation, sur les connaissances de la condition initiale, et sur la différence entre les prédictions du modèle et les mesures. On attribue à chaque source d'erreurs une matrice de covariance (respectivement \(K_{qq}\), \(K_{aa}\) et \(\Sigma_{\epsilon\epsilon}\)) qui traduit notre confiance par rapport aux choix de modélisation, la calibration de l'état initial et des erreurs de mesure. Plus nous sommes confiants dans nos choix, plus la variance associée est faible.

La résolution de ces problèmes inverses se base sur la réécriture sous forme variationnelle et se conclut par la résolution de deux systèmes d'EDPs et avec une contrainte qui correspond à l'annulation d'une fonction vectorielle. Cette résolution passe par la définition d'un problème adjoint de variable \(\lambda\). Le problème direct et le problème adjoint correspondent aux deux systèmes d'EDPs précédemment énoncés. La contrainte vectorielle provient du fait que les coefficients optimisent les sources d'erreurs.

En considérant \(\theta = (\rho,\delta,\alpha,\beta,\gamma)\) pour le modèle de Keller-Segel, concrètement, nous montrons qu'une solution de ce problème inverse est une solution \((u^{*},c^{*},\lambda^{*},\theta^{*})\) qui résout le système couplé suivant : \begin{flalign*} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}- \nabla\cdot(D_1 \nabla u) + \nabla.(D_1\chi u \nabla c) = g_1(u,c,\theta) +(K_{qq}\lambda)_1 & ,\forall(t,x)\in I\times\Omega,\\ \frac{\partial c}{\partial t} - \nabla\cdot(D_2 \nabla c) = g_2(u,c,\theta) +(K_{qq}\lambda)_2 & ,\forall(t,x)\in I\times\Omega ,\\ u(t=0,x) = u_{0}(x)+(K_{aa}\lambda^{0})_1, c(t=0,x) = c_{0}(x)+(K_{aa}\lambda^{0})_2 &, \forall x\in\Omega ,\\ D_1 \nabla u\cdot\vec n - D_1 \chi u\nabla c\cdot\vec n= 0, D_2 \nabla c\cdot\vec n = 0 &,\forall(t,x)\in I\times\partial\Omega, \end{cases} && \end{flalign*} \begin{equation*} \begin{cases} \frac{\partial \lambda_1}{\partial t}- \nabla\cdot(D_1\nabla\lambda_1) -D_1\chi\nabla c\cdot\nabla\lambda_1 = -\frac{\partial g_1}{\partial u}\lambda_1 -\frac{\partial g_1}{\partial c}\lambda_2 - \mathscr{C}(u,c)_1 &,p.p.(t,x)\in I\times\Omega,\\ \frac{\partial \lambda_2}{\partial t}- \nabla\cdot(D_2\nabla\lambda_2) +\nabla\cdot(D_1\chi u\nabla\lambda_1) = -\frac{\partial g_2}{\partial u}\lambda_1 -\frac{\partial g_2}{\partial c}\lambda_2 - \mathscr{C}(u,c)_2 &,p.p.(t,x)\in I\times\Omega,\\ \lambda(t=t_f,x) = 0 &, p.p. x\in\Omega, \\ (D_1 \nabla\lambda_1-D_1\chi\lambda_1\nabla c)\cdot\vec n = (D_2\nabla\lambda_2-D_1\chi u\nabla\lambda_1)\cdot\vec n = 0 &,p.p.(t,x)\in I\times\partial\Omega, \end{cases} \end{equation*} \begin{flalign*} \mathscr{G}(\theta,u,c,\lambda) = \int_{I}\int_{\Omega}\begin{bmatrix}\frac{\partial g_1}{\partial\rho} & \frac{\partial g_1}{\partial\delta} & \frac{\partial g_1}{\partial\alpha} & \frac{\partial g_1}{\partial\beta} & \frac{\partial g_1}{\partial\gamma} \\ \frac{\partial g_2}{\partial\rho} & \frac{\partial g_2}{\partial\delta} & \frac{\partial g_2}{\partial\alpha} & \frac{\partial g_2}{\partial\beta} & \frac{\partial g_2}{\partial\gamma} \end{bmatrix}^{T}\cdot \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{bmatrix}dt dx = 0_{\mathbb{R}^5}, && \end{flalign*}

et qu'une solution du système de Turing, en considérant \(\vartheta=(d,\mu)\), est une solution \((A^{*},B^{*},\lambda^{*},\vartheta^{*})\) qui résout le système couplé suivant : \begin{flalign*} \begin{cases} \frac{\partial A}{\partial t}- \nabla^{2} A = \mu f_1(A,B) +(K_{qq}\lambda)_1 & ,\forall(t,x)\in I\times\Omega,\\ \frac{\partial B}{\partial t} - d \nabla^{2} B = \mu f_2(A,B) +(K_{qq}\lambda)_2 & ,\forall(t,x)\in I\times\Omega, \\ A(t=0,x) = A_{0}(x)+(K_{aa}\lambda^{0})_1, B(t=0,x) = B_{0}(x)+(K_{aa}\lambda^{0})_2 &, \forall x\in\Omega, \\ \nabla A\cdot\vec n = 0, \nabla B\cdot\vec n = 0 &,\forall(t,x)\in I\times\partial\Omega, \end{cases} && \end{flalign*} \begin{flalign*} \begin{cases} \frac{\partial \lambda_1}{\partial t}- \nabla^{2}\lambda_1 = - \mu\frac{\partial f_{1}}{\partial A}\lambda_1 - \mu\frac{\partial f_{1}}{\partial B}\lambda_2 - \mathscr{C}(A,B)_1 &,p.p.(t,x)\in I\times\Omega,\\ \frac{\partial \lambda_2}{\partial t}- d\nabla^{2}\lambda_2 = - \mu\frac{\partial f_{2}}{\partial A}\lambda_1 - \mu\frac{\partial f_{2}}{\partial B}\lambda_2 - \mathscr{C}(A,B)_2 &,p.p.(t,x)\in I\times\Omega,\\ \lambda_1(t=t_f,x) = \lambda_2(t=t_f,x) = 0 &, p.p. (x)\in\Omega, \\ \nabla\lambda_1\cdot\vec n= \nabla\lambda_2\cdot\vec n= 0 &,p.p.(t,x)\in I\times\partial\Omega, \end{cases} && \end{flalign*} \begin{flalign*} \mathscr{F}(\vartheta,A,B,\lambda) = \int_{I}\int_{\Omega}\begin{bmatrix} 0 & f_{1}(A,B) \\ \nabla^{2}B & f_{2}(A,B)\end{bmatrix}^{T}\cdot \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{bmatrix} dt dx = 0_{\mathbb{R}^2}. && \end{flalign*}

Les systèmes précédents sont difficiles à résoudre numériquement, car le problème direct a une condition initiale en \(t_0\) alors que le problème adjoint a une condition initiale au temps final \(t_f\). Cela implique que pour résoudre le problème direct et adjoint en même temps, il faut résoudre les deux systèmes globalement en temps. Pour pallier ce problème, nous construisons une méthode de résolution numérique des précédents systèmes et nous l'évaluons à partir de données synthétiques (à l'instar de données expérimentales), c'est-à-dire que les données sont générées artificiellement à partir de notre modèle.

Notre méthode numérique permet de résoudre séparément le problème direct et le problème adjoint. Pour cela, on utilise un algorithme itératif qui résout successivement le problème direct dans son entièreté (en temps et en espace), puis le problème adjoint dans son entièreté (en temps et en espace). On utilise à chaque itération la solution précédente du problème adjoint pour résoudre le problème direct (pour résoudre le problème adjoint, on utilise la solution précédente du problème direct). Dans ce cadre, la résolution du problème direct (ou du problème adjoint) est beaucoup plus facile.

L'estimation paramétrique des différents systèmes s'obtient grâce à la contrainte vectorielle. Notre stratégie numérique pour obtenir cette contrainte, est d'utiliser une méthode de Newton-Raphson où chaque itéré du procédé utilise l'algorithme itératif précédemment décrit pour associer la variable d'état (\(\Psi\)) et la variable adjointe (\(\lambda\)) à l'itéré (itéré qui est une estimation des coefficients).

La méthode numérique fonctionne avec des données synthétiques et nous faisons une étude des hyperparamètres de la méthode pour identifier leurs influences sur la résolution numérique en pratique.

De manière générale, les résultats de ce travail sont regroupés dans cet article.

En mathématiques, de nombreux modèles ont déjà été développés pour modéliser le comportement des tumeurs cérébrales gliales (englobant le GBM). On peut citer des modèles sphériques autour de systèmes d'EDPs (Papadogiorgaki et al. 2013; Stein et al. 2007; Kim et al. 2009). D'autres approches tournent autour de modèles de comportement élastique (Subramanian et al. 2019), ou encore de modèles de théories évolutives des jeux (Basanta et al. 2011).

Le diagnostic d'un GBM est tardif dans l'évolution du cancer : la tumeur avoisine un diamètre de 3 centimètres au moment du diagnostic. A ce stade, les cellules tumorales ont développé assez de mécanismes de promotions tumorales pour échapper au système immunitaire et proliférer dans le cerveau. Dans ce contexte, il est assez usuel de modéliser la croissance tumorale d'un GBM en se basant sur le phénomène de l'angiogenèse. On parle alors d'angiogenèse induite par la tumeur. Des modèles d'angiogenèse ont déjà été développés dans la communauté scientifique : avec des systèmes d'EDPs (Vilanova et al. 2017 ; Mantzaris et al. 2004 ; Schugart et al. 2008 ; Colin et al. 2015), avec l'ajout de processus stochastiques (Travasso et al. 2011), ou travaillant à l'échelle mésoscopique (Spill et al. 2015).

Cependant, on va présenter ici un modèle amélioré d'angiogenèse induite par la tumeur en se basant sur des IRMs (Imagerie à Résonance Magnétique) de patient, et en prenant en compte les différents traitements qui sont administrés en pratique. En effet, les IRMs sont obligatoires pour confirmer un diagnostic de GBM (Villanueva-Meyer et al. 2017). De plus, les méthodes numériques actuelles permettent d'extraire beaucoup d'information des IRMs, par exemple des techniques de deep learning sont utilisées pour de l'extraction de données médicales (Lundervold and Lundervold 2019). Avec des outils numériques comme CaPTK (Bakas et al. 2017 ; Pati et al. 2019), il est aussi possible d'obtenir des segmentations automatiques des GBM à partir d'IRMs.

D'autres sources de données existent : des études récentes ont démontré que l'on peut extraire des informations phénotypiques des tumeurs à partir de données immunohistochimiques. Par exemple, on peut identifier le sous-type du GBM (Orzan et al. 2020). Dans cette thèse, nous n'utiliserons pas de données immunohistochimiques, mais seulement des IRMs.

Numériquement, travailler sur un IRM est un véritable challenge. Les schémas numériques usuels en biologie sont de type volumes finis, car ils sont consistants avec la notion de flux. Cependant, des schémas classiques de type volumes finis, comme ceux basés sur du TPFA (Two Point Flux Approximation), ne peuvent pas conserver la positivité des solutions numériques sans contrainte sur le maillage. Un maillage issu d'un IRM ne satisfait en général pas ce type de contrainte. On a alors besoin d'utiliser des méthodes plus raffinées pour pouvoir assurer la positivité des solutions. Notre approche se base sur un schéma CVFE (Control Volume Finite Element) dans lequel l'utilisation de flux numériques non-linéaires de type Godunov permet d'assurer la positivité des solutions.

Pour décrire le plus fidèlement possible le comportement des cellules tumorales d'un patient atteint GBM à partir de son diagnostic, nous devons prendre en compte les différents traitements dans le modèle. Actuellement, les patients atteints d'un GBM sont soignés grâce à de la chirurgie et à un traitement combinant radiothérapie et TMZ (chimiothérapie). On considérera donc uniquement ces traitements dans notre modèle. Les premiers modèles autour des gliomes s'intéressaient à la modélisation de la chimiothérapie et de la chirurgie (Tracqui et al. 1995 ; Woodward et al. 1996). Depuis, des modèles plus robustes ont été développés : sur l'impact de la chimiothérapie sur des cellules hypoxiques (Hinow et al. 2009), sur l'hétérogénéité de l'action de la chimiothérapie (Swanson et al. 2003), sur la chirurgie et la radiothérapie avec un modèle d'haptotaxie (Enderling et al. 2010), sur l'impact de la chimiothérapie et la radiothérapie sur des gliomes de grade faible (Ribba et al. 2012), sur l'utilisation de traitements anti-angiogenèse avec un modèle de type grow-or-go (Saut et al. 2014), sur la propagation des métastases (Benzekry et al. 2012), sur l'utilisation d'agents anti-invasifs sur des tumeurs solides (Ribba et al. 2006), et enfin sur l'impact des immunothérapies pour des gliomes (Banerjee et al. 2015). Modéliser les traitements va nous permettre de comparer leurs impacts théoriques (car modèle théorique) sur la croissance du GBM par rapport aux connaissances empiriques issues de la médecine.

Tout cela résulte en un système d'équations différentielles non-linéaires de 4 équations avec 4 inconnues : la densité en cellules tumorales (u), la concentration en dioxygène (c), la densité en cellules endothéliales (ue) et la concentration en facteurs de croissance des cellules endothéliales (v) \begin{align} \label{Systa}\tag{1a} &\partial_{t}u -\nabla\cdot(\Lambda_{1}(x)(a(u)\nabla u -\chi_{1}(u)\nabla c)) = \rho_{1}h(c)f_{u_{T}}(u)-\beta_{1}u -T_{treat}(t,u), \\ \label{Systb}\tag{1b} &\partial_{t}c -\nabla\cdot(D_{2}\nabla c) = \alpha_{2}u_{e} -\beta_{2}c-\gamma_{2}uc, \\ \label{Systc}\tag{1c} &\partial_{t}u_{e} - \nabla\cdot(\Lambda_{3}(x)(a(u_{e}) \nabla u_{e} -\chi_{3}(u_{e})\nabla v)) = \rho_{3}f_{u_{T}}(u_{e})-\beta_{3}u_{e}, \\ \label{Systd}\tag{1d} &\partial_{t}v - \nabla\cdot(D_{4}\nabla v) = \alpha_{4}g(c)u -\beta_{4}v-\gamma_{4}u_{e}v. \end{align} Dans ce modèle, \(\Lambda_{1,3}\) correspond au tenseur de diffusion anisotrope des cellules dans le cerveau. \(D_{2,4}\) sont aussi des tenseurs de diffusion, mais isotropes dans le cerveau, relatifs aux protéines. La fonction $a$ décrit l'influence des cellules sur le processus de diffusion. Pareillement, les fonctions \(\chi\) et \(f_{u_{T}}\) décrivent l'influence des cellules sur les processus de chimiotaxie et de croissance, respectivement. Enfin, la fonction \(T_{treat}\) regroupe l'ensemble des termes relatifs aux traitements appliqués sur les cellules tumorales.

Nous avons construit un schéma numérique capable d'assurer des propriétés de positivité malgré le fait d'avoir un maillage non contraint, car ayant la géométrie d'un cerveau.

Le schéma numérique consiste ainsi à approximer les valeurs de \(u\), \(c\), \(u_e\) et \(v\) aux sommets du maillage (\(\{x_K\}_{K\in \vartheta}\)) pour tout temps discret \((\{t_n\}_{0\leq n\leq N})\). On utilise la notation \(w_{K}^{n}\) pour l'approximation de \(w(x_K,t_n)\), où \(w=u,c,u_e\) ou \(v\) . Le schéma CVFE prend la forme suivante : résoudre pour tout sommet K du maillage et pour tout \(n\in\llbracket0,N\rrbracket\) \begin{multline*} \circ \frac{m_{K}}{\delta t}(u^{n+1}_{K}-u^{n}_{K}) + \sum_{\sigma_{KL}\in\mathcal{E}_{K}}\Lambda^{(1)}_{KL}a_{KL}^{n+1}(u_{K}^{n+1}-u_{L}^{n+1}) \\ -\sum_{\sigma_{KL}\in\mathcal{E}_{K}}\Lambda_{KL}^{(1)}a_{KL}^{n+1}\mu_{KL}^{n+1}(c_{K}^{n+1}-c_{L}^{n+1})= m_{K}\rho_{1}h(c_{K}^{n+1})f_{u_{T,K}^{n+1}}(u_{K}^{n+1}) \\ -m_{K}\beta_{1}u_{K}^{n+1}-m_{K}T_{treat}(t_{n+1},u_{K}^{n+1}), \end{multline*} \begin{multline*} \circ\frac{m_{K}}{\delta t}(c_{K}^{n+1}-c_{K}^{n}) + \sum_{\sigma_{KL}\in\mathcal{E}_{K}}D_{KL}^{(2)}\eta_{KL}^{n+1}(p(c^{n+1}_{K})-p(c^{n+1}_{L})) \\ = m_{K}\alpha_{2}u_{e,K}^{n+1}-m_{K}\beta_{2}c_{K}^{n+1}-\gamma_{2}u_{K}^{n+1}c_{K}^{n+1}, \end{multline*} \begin{multline*} \circ\frac{m_{K}}{\delta t}(u_{e,K}^{n+1}-u_{e,K}^{n}) + \sum_{\sigma_{KL}\in\mathcal{E}_{K}}\Lambda^{(3)}_{KL}\tilde a_{KL}^{n+1}(u_{e,K}^{n+1}-u_{e,L}^{n+1}) \\ -\sum_{\sigma_{KL}\in\mathcal{E}_{K}}\Lambda^{(3)}_{KL}\tilde a_{KL}^{n+1}\tilde\mu_{KL}^{n+1}(v_{K}^{n+1}-v_{L}^{n+1}) \\ = m_{K}\rho_{3}f_{u_{T,K}^{n+1}}(u_{e,K}^{n+1})-m_{K}\beta_{3}u_{e,K}^{n+1}, \end{multline*} \begin{multline*} \circ\frac{m_{K}}{\delta t}(v_{K}^{n+1}-v_{K}^{n}) + \sum_{\sigma_{KL}\in\mathcal{E}_{K}}D_{KL}^{(4)}\bar\eta_{KL}^{n+1}(p(v^{n+1}_{K})-p(v^{n+1}_{L})) \\ = m_{K}\alpha_{4}g(c_{K}^{n+1})u_{K}^{n+1}-m_{K}\beta_{4}v_{K}^{n+1}-\gamma_{4}u_{e,K}^{n+1}v_{K}^{n+1}. \end{multline*}

Dans le système précédent, les matrices de diffusion (\(\Lambda^{(1)}_{KL}\),\(D_{KL}^{(2)}\),\(\Lambda^{(3)}_{KL}\) et \(D_{KL}^{(4)}\)) sont approximées par une méthode de type éléments finis, les quantités \(a_{KL}^{n+1}\), \(\tilde a_{KL}^{n+1}\), \(\eta_{KL}^{n+1}\) et \(\bar\eta_{KL}^{n+1}\) sont des approximations de Godunov, et les termes convectifs (\(\mu_{KL}^{n+1}\) et \(\tilde\mu_{KL}^{n+1}\)) sont approximés par un schéma amont.

Un tel schéma numérique peut être résolu numériquement avec une méthode de Newton. Cette résolution est cependant très consommatrice en temps et en ressource informatique, car les quatre équations sont couplées. Pour résoudre cette problématique, on a développé un algorithme itératif qui, dans la pratique, est très efficace pour calculer la solution (\(u^{n+1}\), \(c^{n+1}\), \(u_e^{n+1}\), \(v^{n+1}\)). Cet algorithme permet de découpler les quatre systèmes (relatifs à \(u^{n+1}\), \(c^{n+1}\), \(u_e^{n+1}\) et $\(v^{n+1}\)), on résout alors quatre systèmes indépendants, ce qui est plus efficace que de résoudre un seul système quatre fois plus grand. On démontre par ailleurs que la positivité des solutions est conservée pendant les itérations de l'algorithme.

Des simulations numériques ont été effectuées en modélisant tous les différents traitements usuels pour un GBM : chirurgie, chimiothérapie et radiothérapie. Tout cela nous permet d'observer le comportement de la tumeur en fonction de la combinaison de traitements utilisés. Les simulations montrent un comportement réaliste qui s'aligne avec les connaissances empiriques issues de la médecine. Ces simulations numériques sont disponibles ici. De manière générale, les résultats de cette première partie sont regroupés dans cet article.

Ce projet d’étude de l’option mathématiques appliquées s’intéresse à la propagation d’un soliton régi par l’équation Korteweg de Vries (KdV).

Le phénomène associé a été décrit pour la première fois par l’Écossais John Scott Russell qui l’a observé initialement en se promenant le long d’un canal : il a suivi pendant plusieurs kilomètres une vague remontant le courant qui ne semblait pas vouloir faiblir. Il a été modélisé par Joseph Boussinesq en 1872. Ainsi sur l’eau, il est apparenté au mascaret. Il apparaît par exemple dans la Seine ou sur la Dordogne, en Gironde, à certains endroits et à certains moments. D’autres solitons apparaissent comme des ondes internes, initiées par la topographie du fond marin, et qui se propagent dans la pycnocline océanique.

Ce mode de propagation d’une vague sur de longues distances explique aussi la propagation des tsunami (ou raz-de-marée). Ceux-ci se déplacent presque sans effet notable en eaux profondes. Le transport par soliton explique que les tsunamis, insensibles pour les navires en mer, puissent naître d’un séisme sur une côte de l’océan Pacifique et avoir des effets sur la côte opposée.

L’équation Korteweg de Vries s’écrit comme suit : $$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^3u}{\partial x^3}=0$$ Cette équation est souvent vue comme une combinaison de deux équations aux dérivées partielles plus "faciles" à analyser : $$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0$$ $$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial^3u}{\partial x^3}=0$$

En se positionnant sur un concept qui, jusqu'à présent, a été largement négligé par les exploitants de parc éolien, Floris est un logiciel très prometteur.

Il propose en effet une stratégie de controle de groupe et non plus individuel comme ce qui se pratique aujourd'hui. En effet, en jouant sur le desaxement des éoliennes par rapport au vent, celles-ci produisent moins d'énergie mais ce choix permet de décaler leur sillage qui en conséquence gêne moins les éoliennes voisines. Floris prouve, par un jeu d'optimisation de ce paramètre de desaxement nommé yaw angle, qu'il serait possible de produire plus d'énergie.

A l'utilisation, Floris se révèle être simple pour toute personne qui serait déjà un peu familier du langage python. Par ailleurs, les modélisations du sillage utilisées se sont révélées être également simples à comprendre également.

Lors de l'analyse plus approfondie des capacités de Floris, nous avons découvert trois problèmes :

• Le premier concerne la limite en vitesse incidente. Celle-ci se révèle être peu importante puisqu'avant d'être atteinte, Floris n'offre plus qu'un gain tout à fait négligeable.
• La seconde implique la durée des calculs d'optimisation. En effet, pour une ferme de taille importante, si la gestion dynamique des moteurs en lacet implique une correction toutes les minutes, il faudra installer sur place un ordinateur puissant afin de résoudre les calculs dans le temps imparti.
• Le dernier concerne cette anomalie dans le calcul du gain sur la ferme de Picardie. Autour de 4.78 m/s, Floris estime qu'il n'y a aucun gain à obtenir de cette configuration, ce qui est contredit par ses calculs à 4.5 m/s et 5.5 m/s.

Malgré ces problèmes rencontrés, et comme en témoigne cette étude, menée sur le terrain. Il a été prouvé sur une expérience de 10 mois, que les résultats de Floris étaient cohérents et très proches des valeurs mesurées.

Ainsi, après avoir travaillé sur ce projet pendant 6 mois, il nous apparait évident que les exploitants de parc éoliens doivent s'intéresser au potentiel de Floris.

Toutefois, il nous apparait important de noter qu'avant de pouvoir exploiter ce logiciel, des études de faisabilité à grande échelle sont encore nécessaires. En effet, comme vue sur l'étude, le controle en dynamique est à améliorer. Par ailleurs, les organes moteur chargés de réaliser la rotation en lacet des éoliennes seront beaucoup plus solicités mécaniquement. A cet effet, nous souhaitons reparler ici du rapport de Megavind. En effet, il met en lumière un élément crucial dans notre étude : les ruptures observées sur les éoliennes ne proviennent jamais d'un défaut mécanique lié au système d'entrainement en lacet. Il existe donc une certaine marge de manoeuvre quant à la résistance en usure de ces composants.

Les résultats annoncés par Floris sont donc une excellente nouvelle pour le secteur éolien. Il semble toutefois nécessaire d'effectuer de nouvelles études de faisabilité avant de pouvoir mettre en place à grande échelle les propositions de ce logiciel.

This work is the result of my third-year internship at the Instituto Universitario de Investigacion en Ingenieria de Aragon in the University of Zaragoza (Spain).

My work follows the one from a PhD student that works on the problematic to solve real-time sloshing problems, from the detection of initial data with a camera to its rendering. Her first paper shows that a numerical scheme based on the GENERIC structure is able to reproduce in real-time the sloshing behavior of water with data-driven fluid simulation. The data were obtained on Abaqus with the SPH method. A poster resuming her work is available in the previous page.

My objectives were to enhance the simulations by adding more liquids, even non-Newtonian, and to change the method to simulate the data on Abaqus.

Finally, I have been able to simulate liquids behavior with the ALE-mesh and to generalize the method to simulate non-Newtonian liquid behavior with it, to extract and convert the data obtained in those simulations to get the manifold of the data, to embed this manifold in a 2D space with a high fidelity of the structure of trajectory using the UMAP method and to compute the GENERIC numerical scheme on those trajectories to reconstruct them from the initial time step with high accuracy compared with the initial data.

Cette collaboration Institut Pascal - Ecole Centrale de Nantes s'appuie sur les données disponibles au sein de PEPRADE (Périnatalité, grossesse, Environnement, PRAtiques médicales et DEveloppement) concernant une cohorte de suivis de (23 000) grossesses s'étalant sur la décennie en cours, avec de forts enjeux cliniques et de santé publique.

La typologie des données est très diverse incluant des données numériques structurées en bases, des données d'imagerie essentiellement échographiques, des signaux électrophysiologiques et des informations textuelles. Ces données sont massives quant à leur taille car elles impliquent plusieurs individus statistiques dont la parturiente, son conjoint, la grossesse en elle-même (depuis la conception jusqu'à l'accouchement, ses conditions et son environnement médical), le ou les foetus en question, ainsi que l'enfant en période néonatale. L'objet de cette collaboration est de mettre en œuvre l'ensemble d'une chaîne de traitement de données depuis leur extraction/préparation jusqu'à leur exploitation avec un focus particulier sur quelques problématiques cliniques relatives au développement staturo-pondéral foetal, et à la morbidité périnatale. Outre l'intégration des données, je propose la mise en oeuvre d'un catalogue quasi-complet de techniques de machine learning dédiées à l'exploitation de la valeur informationnelle de ces données périnatales dans le but de prédire/anticiper des issues telles que le poids de naissance d'un enfant, le caractère morbide de son développement staturo-pondéral (hypotrophie/macrosomie) et les conditions de sa naissance (accouchement compliqué, réanimation néonatale, etc).

Ces études montrent des résultats plus satisfaisants que ceux obtenus avec les méthodes actuelles et sont résumés sous-formes de diagramme pour pouvoir évaluer et comparer chaque modèle selon le jeu de données et la méthode de régression / classification utilisée.